Session normale 2016
Partie I

1) on applique théorème des accroissements finis sur la fonction `t->e^(-t)` Montrer

` exists a in ]0, x [ : e^a= x/{1-e^(-x)}`

2) En déduire que

a) `forall x > 0 : 1-x < e^(-x)`

b) ` forall x > 0 : 1+x < e^x `

c) `forall x > 0 : 0 < ln({xe^x}/{e^x-1}) < x `

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Partie II

soit la fonction `f` définie sur `[0,+infty[ ` par `f(0) =1 ` et `forall x > 0 : f(x) = {xe^x}/{e^x-1}`

1) a) Montrer que `f` est continue a droite de `0 `

b) Montrer que `lim_{ x to +infty } f(x) -x =0 ` puis interpréter graphiquement le résultat

2) a) Montrer que `forall x >= 0 : x-x^2/2 <= 1-e^(-x)`

b) En déduire que `forall x >= 0 : x^2/2 -x^3/6 <= e^(-x)+x -1 <= x^2/2`

3) a) Vérifier que
` forall x >= 0 {f(x)-1}/x= {e^(-x)+x-1}/x^2f(x)`

b) on déduire que `lim_{ x to 0^+} {f(x)-1}/x = 1/2` puis interpréter le resultat obtenu

4) a ) Montrer que `f` est dérivable sur `]0,+infty[` et que `forall x > 0 : f'(x) = {e^x(e^x-1-x)}/(e^x-1)^2`

b) En déduire que `f` est strictement croissante sur `[0,+infty[`

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Partie III
on considère la suite `(u_n)` définie par `u_0 > 0 ` et pour tout n `u_{n+1} = ln(f(u_n))`

1) Montrer que `forall n in N : u_n > 0 `

2) Montrer que la suite `(u_n)` est décroissante puis en déduire qu'elle est convergente

3) Montrer que `0` est l unique solution de l équation `ln(f(x))= x ` , puis déterminer `lim_{ n to +infty} u_n `